Question

【題目】已知f（x）=xlnx，g（x）=x3+ax2﹣x+2
（1）求函數f（x）的單調區間；
（2）求函數f（x）在[t，t+2]（t＞0）上的最小值；
（3）對一切的x，2f（x）≤g′（x）+2恒成立，求實數a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：f′（x）=lnx+1令f′（x）＜0解得0＜x＜ ，

∴f（x）的單調遞減區間為（0， ）

令f′（x）＞0解得x＞ ，

∴f（x）的單調遞增區間為（ ，+∞）

（2）解：當0＜t＜t+2＜ 時，t無解

當0＜t≤ ＜t+2，即0＜t≤ 時，

∴f（x）min=f（ ）=﹣ ；

當 ＜t＜t+2，即t＞ 時，f（x）在[t，t+2]上單調遞增，

∴f（x）min=f（t）=tlnt

∴f（x）min=

（3）解：由題意：2xlnx≤3x2+2ax﹣1+2即2xlnx≤3x2+2ax+1

∵x∈（0，+∞）

∴a≥lnx﹣ x﹣ ，

設h（x）=lnx﹣ x﹣ ，

則h′（x）= ﹣ + =﹣ ，

令h′（x）=0，得x=1，x=﹣ （舍）

當0＜x＜1時，h′（x）＞0；當x＞1時，h′（x）＜0

∴當x=1時，h（x）取得最大值，h（x）max=﹣2

∴a≥﹣2

故實數a的取值范圍[﹣2，+∞）

【解析】（1）求出f′（x），令f′（x）小于0求出x的范圍即為函數的減區間，令f′（x）大于0求出x的范圍即為函數的增區間；（2）當0＜t＜t+2＜ 時t無解，當0＜t≤ ＜t+2即0＜t≤ 時，根據函數的增減性得到f（x）的最小值為f（ ），當 ＜t＜t+2即t＞ 時，函數為增函數，得到f（x）的最小值為f（t）；（3）求出g′（x），把f（x）和g′（x）代入2f（x）≤g′（x）+2中，根據x大于0解出a≥lnx﹣ x﹣ ，然后令h（x）=lnx﹣ x﹣ ，求出h（x）的最大值，a大于等于h（x）的最大值，方法是先求出h′（x）=0時x的值，利用函數的定義域和x的值分區間討論導函數的正負得到函數的單調區間，根據函數的增減性即可得到函數的最大值，即可求出a的取值范圍．
【考點精析】利用利用導數研究函數的單調性和函數的最大(小)值與導數對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減；求函數在上的最大值與最小值的步驟：（1）求函數在內的極值；（2）將函數的各極值與端點處的函數值，比較，其中最大的是一個最大值，最小的是最小值．