Question

（2010北京理數）（19）（本小題共14分）

在平面直角坐標系xOy中，點B與點A（-1,1）關于原點O對稱，P是動點，且直線AP與BP的斜率之積等于.

(Ⅰ)求動點P的軌跡方程；

(Ⅱ)設直線AP和BP分別與直線x=3交于點M,N，問：是否存在點P使得△PAB與△PMN的面積相等？若存在，求出點P的坐標；若不存在，說明理由。

Answer 1

（I）解：因為點B與A關于原點對稱，所以點得坐標為.

    設點的坐標為

    由題意得

    化簡得  .

    故動點的軌跡方程為

（II）解法一：設點的坐標為，點，得坐標分別為,.

  則直線的方程為，直線的方程為

當時，得

又，

所以=，解得。

因為，所以

故存在點使得與的面積相等，此時點的坐標為.

解法二：若存在點使得與的面積相等，設點的坐標為

       則.

       因為,

       所以

       所以

       即 ，解得

       因為，所以

       故存在點S使得與的面積相等，此時點的坐標為.