Question

【題目】已知數列和滿足，，，.

（1）證明：是等比數列，是等差數列；

（2）求和的通項公式；

（3）令，求數列的前項和的通項公式，并求數列的最大值、最小值，并指出分別是第幾項.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2），；（3）當為偶數時，，當為奇數時，；的最大值為第1項，最大值為1，最小值為第2項，最小值為.

【解析】

（1）根據定義判斷是等比數列，是等差數列；

（2）由（1）求得和的通項公式，解方程分別求得和的通項公式

（3）先求為偶數時的，利用并項求和法求出，再求為奇數時的，

利用遞推式（為偶數），再分析的符號和單調性，求出的最大

值和最小值.

解: （1）由題,，相加得

得，故是首項為公比為的等比數列；

又由,，相減得，

即，故是首項為公差為 的等比數列.

（2）由（1）得，，聯立解得

，

（3）由（2）得

當為偶數時，

當為奇數時，，

時，

則當為奇數時，.

綜合得

則當為奇數時，單調遞增且;

當為偶數時，

故單調遞減，又，即，

則當為奇數時，單調遞減且，當為偶數時，單調遞增且

故的最大值為第1項，最大值為1，最小值為第2項，最小值為.