Question

【題目】已知函數f（x）=|x+2|+|x|
（1）解不等式f（x）≤4；
（2）若對x∈R，恒有f（x）＞|3a﹣1|成立，求a的取值范圍．

Answer 1

【答案】
（1）解：函數f（x）=|x+2|+|x|表示數軸上的x對應點到﹣2、0對應點的距離之和，

而﹣3和1對應點到﹣2、0對應點的距離之和正好等于4，故不等式f（x）≤4的解集為[﹣3，1]．

（2）解：函數f（x）=|x+2|+|x|表示數軸上的x對應點到﹣2、0對應點的距離之和，它的最小值為2，．

若對x∈R，恒有f（x）＞|3a﹣1|成立，則有2＞|3a﹣1|，即﹣2＜3a﹣1＜2，求得﹣ ＜a＜1，

故a的取值范圍為（﹣ ，1）

【解析】（1）由條件利用絕對值的意義求得不等式f（x）≤4的解集．（2）根據絕地值的意義求得函數f（x）=|x+2|+|x|的最小值為2，故有2＞|3a﹣1|，由此求得a的范圍．
【考點精析】認真審題，首先需要了解絕對值不等式的解法(含絕對值不等式的解法：定義法、平方法、同解變形法，其同解定理有；規律：關鍵是去掉絕對值的符號)．