Question

已知定點M（0，2），N（0，-2），Q（2，0），動點P滿足m|

PQ

|2-

MP

•

NP

=0，（m∈R）．
（1）求動點P的軌跡方程，并說明軌跡的形狀；
（2）當m=0時，求|2

MP

+

NP

|的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）設出動點P的坐標，根據(jù)已知點的坐標寫出向量

PQ

，

MP

，

np

的坐標，代入m|

PQ

|2-

MP

•

NP

=0后即可得到動點P的橫縱坐標所滿足的函數(shù)關系式，對m的取值分類可得動點P的軌跡；
（2）由m=0得到點P的坐標的關系是x²+y²=4，由此得到y(tǒng)的取值范圍是-2≤y≤2，結合x²+y²=4，把|2

MP

+

NP

|化簡后僅用常數(shù)和y表示，則|2

MP

+

NP

|的取值范圍可求．

解答：解：（1）設動點P（x，y），又M（0，2），N（0，-2），Q（2，0），
則

MP

=(x，y-2)，

NP

=(x，y+2)，

PQ

=(2-x，-y)，
∴|

PQ

|2=(2-x)2+y2，

MP

•

NP

=x2+y2-4，
由m|

PQ

|2-

MP

•

NP

=0，∴m[（2-x）²+y²]-（x²+y²-4）=0，
即（m-1）x²+（m-1）y²-4mx+4m+4=0．
若m=1，方程為x=1，表示過點（2，0），且平行于y軸的直線；
若m≠1，方程為(x-

2m

m-1

)2+y2=(

2

m-1

)2，表示以(

2m

m-1

，0)為圓心，以

2

|m-1|

為半徑的圓．
（2）當m=0時，方程為x²+y²=4
∴|2

MP

+

NP

|=|2(x，y-2)+(x，y+2)|
=|（3x，3y-2）|=

(3x)2+(3y-2)2

=

9(x2+y2)-12y+4

=

40-12y

．
又∵-2≤y≤2，則16≤40-12y≤64，所以，所求|2

MP

+

NP

|的范圍為[4，8]．

點評：本題考查了軌跡方程的求法，考查了分類討論得數(shù)學思想，考查了向量模的計算，解題過程中體現(xiàn)了整體運算思想，屬中檔題．