Question

【題目】如圖，在正方形中，點(diǎn)，分別是，的中點(diǎn)，將分別沿，折起，使兩點(diǎn)重合于.

（Ⅰ）求證：平面；

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）證明面面垂直，一般利用面面垂直判定定理，即從線面垂直出發(fā)給予證明，而線面垂直的證明往往利用線面垂直判定與性質(zhì)定理，即從線線垂直出發(fā)給予證明，而線線垂直的尋找與論證往往需結(jié)合平幾知識(shí)進(jìn)行：連接交于，則根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得，（Ⅱ）求二面角，一般利用空間向量進(jìn)行求解，先根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)立各點(diǎn)坐標(biāo)，利用方程組解出各面法向量，利用向量數(shù)量積求法向量夾角，最后根據(jù)二面角與向量夾角之間關(guān)系求解

試題解析：（Ⅰ）證明：連接交于，連接.

在正方形中，點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，

所以，

所以，

所以在等腰中，是的中點(diǎn)，且，

因此在等腰中，，

從而，

又，

所以平面，

即平面.…………………6分

（Ⅱ）方法一：

在正方形中，連接，交于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，

由于點(diǎn)是中點(diǎn)，點(diǎn)是中點(diǎn)，

所以，

于是，

從而，

所以，

于是，在翻折后的幾何體中，為二面角的平面角，

在正方形中，解得，，

所以，在中，，，，

由余弦定理得，

所以，二面角的余弦值為.………………………………12分

方法二：

由題知兩兩互相垂直，故以為原點(diǎn)，向量方向分別為，，軸的正方向，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)正方形邊長(zhǎng)為2，則，，，.

所以，.

設(shè)為平面的一個(gè)法向量，

由得，

令，得，

又由題知是平面的一個(gè)法向量，

所以.

所以，二面角的余弦值為.………………………………12分