Question

設(shè)0≤x≤2，求函數(shù)y=4x-

1

2

-a•2x+

a2

2

+1的最大值和最小值．

Answer 1

分析：本題中的函數(shù)是一個復(fù)合函數(shù)，求解此類函數(shù)在區(qū)間上的最值，一般用換元法，把復(fù)合函數(shù)的最值問題變?yōu)閮蓚�函數(shù)的最值問題，以達到簡化解題的目的．本題宜先令2^x=t，求出其范圍，再求外層函數(shù)在這個區(qū)間上的最值．

解答：解：設(shè)2^x=t，∵0≤x≤2，∴1≤t≤4
原式化為：y=

1

2

（t-a）²+1，1≤t≤4
當a≤1時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，4]是增函數(shù)，故y_min=

a2

2

-a+

3

2

，ymax=

a2

2

-4a+9；
當1＜a≤

5

2

時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是減函數(shù)，在[a，4]上是增函數(shù)，故y_min=1，y_max=y（4）=

a2

2

 -4a+9；
當

5

2

＜a＜4時，y=

1

2

（t-a）²+1[1，a]是減函數(shù)，在[a，4]上是增函數(shù)，故y_min=1，y_max=y（1）=

a2

2

-a+

3

2

；
當a≥4時，y_min=

a2

2

-4a+9，ymax=

a2

2

-a+

3

2

．

點評：本題考點是指數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用，考查指數(shù)復(fù)合型函數(shù)最值的求法，做此題時，采取了換元法求最值，其具體操作過程是先求內(nèi)層函數(shù)的值域，再求外層函數(shù)在內(nèi)層函數(shù)值域上的最值，此解法大大降低了判斷復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的難度，使得復(fù)合函數(shù)最值的求解變得容易，求解復(fù)合函數(shù)的最值時注意靈活使用這一技巧．