Question

【題目】已知是實系數一元二次方程的虛根，記它在直角坐標平面上的對應點位.

（1）若在直線上，求證：在圓:上；

（2）給定圓，則存在唯一的線段滿足：

①若在圓上，則在線段上；

②若是線段上一點（非端點），則在圓上，寫出線段的表達式，并說明理由；

（3）由（2）知線段與圓之間確定了一種對應關系，通過這種對應關系的研究，填寫表一（表中是（1）中圓的對應線段）.

表一：

線段與線段的關系	的取值或表達式
所在直線平行于所在直線
所在直線平分線段
線段與線段長度相等

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）線段為：．理由見解析；（3）見解析．

【解析】

（1）由，求出坐標，代入圓方程驗證即可證；

（2）當，即時，求出坐標，代入圓方程，可得關系式，從而知所滿足的直線方程，求出的取值范圍，即得線段方程，反之在線段上，檢驗在圓上即可；

（3）根據兩直線的位置關系求解后可填表．

（1）由題意，解方程，得，

點或，

∵，

∴在圓上；

（2）當，即時，解方程得，

所以或，

由題意，整理得，

∵，，∴，

線段為：．

若點在線段：上（非端點），則實系數方程為：，此時，且或在圓上．

（3）由以上解題過程知，

若所在直線平行于所在直線，則，∴；

若所在直線平分線段，線段中點為，所以，即；

線段與線段長度相等，∴，即．

表一：

線段與線段的關系	的取值或表達式
所在直線平行于所在直線
所在直線平分線段
線段與線段長度相等	．