Question

將直線y=-5x+15繞著它與x軸的交點按逆時針方向旋轉θ角后，恰好與圓x²+y²+4x+2y-8=0相切，求旋轉角θ的最小值．

Answer 1

令直線y=-5x+15中y=0，解得：x=3，
∴直線與x軸的交點為P（3，0），
把已知圓化為標準方程得：（x+2）²+（y+1）²=13，
∴圓心C（-2，-1），半徑為r=

13

，…（4分）
顯然切線存在斜率，
∴設切線方程為y=k（x-3），即kx-y-3k=0，
由圓心到切線的距離等于半徑可知：

|5k-1|

1+k2

=

13

，
整理得：（5k-1）²=13（1+k²），即（3k+2）（2k-3）=0，
解得：k=-

2

3

或k=

3

2

，
由題設逆時針旋轉可知應取k=-

2

3

，…（8分）
∴由到角公式知tanθ=

- 2 3 +5

1+ 10 3

=1，
則故旋轉角θ的最小值為

π

4

．…（12分）