Question

（2007•南京二模）將直線y=-5x+15繞著它與x軸的交點(diǎn)按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α角后，恰好與圓（x+2）²+（y+1）²=13相切，則α的一個(gè)值是（　　）

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

Answer 1

分析：令直線y=-5x+15中y=0，求出x的值，確定出直線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出切線的斜率為k，表示出切線的方程，再根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程找出圓心坐標(biāo)和圓的半徑，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離表示出圓心到切線的距離d，使d等于圓的半徑列出關(guān)于k的方程，求出方程的解得到k的值，取k的一個(gè)值，代入到角公式即可求出tanα的值，由α的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可得到α的度數(shù)．

解答：解：因?yàn)橹本�與x軸的交點(diǎn)為（3，0），
所以設(shè)切線方程為y=k（x-3），又已知圓的圓心（-2，-1），半徑為

13

，
由圓心到直線的距離等于半徑可知

|5k-1|

1+k2

=

13

，
解得k=-

2

3

，和k=

3

2

，
由題設(shè)可知應(yīng)取k=-

2

3

，
由到角公式知tanα=

- 2 3 + 5

1+ 10 3

=1，
則旋轉(zhuǎn)角α的一個(gè)值為45°．
故選B

點(diǎn)評(píng)：此題考查了直線與圓的位置關(guān)系，涉及的知識(shí)有：點(diǎn)到直線的距離公式，直線的點(diǎn)斜式方程，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及到角公式的運(yùn)用，當(dāng)直線與圓相切時(shí)，圓心到直線的距離等于圓的半徑，熟練運(yùn)用此性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．