Question

是否存在這樣的實數a，使函數f(x)＝x²＋(3a－2)x＋a－1在區間[－1,3]上恒有一個零點，且只有一個零點？若存在，求出a的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

a的取值范圍為a>1或a<－

解：令f(x)＝0，則Δ＝(3a－2)²－4(a－1)＝9a²－16a＋8＝9(a－)²＋>0，即f(x)＝0有兩個不相等的實數根，
∴若實數a滿足條件，則只需f(－1)·f(3)≤0即可．
f(－1)·f(3)＝(1－3a＋2＋a－1)·(9＋9a－6＋a－1)＝4(1－a)(5a＋1)≤0，
∴a≤－或a≥1．
檢驗：(1)當f(－1)＝0時，a＝1，所以f(x)＝x²＋x．
令f(x)＝0，即x²＋x＝0，得x＝0或x＝－1．
方程在[－1,3]上有兩個實數根，不合題意，故a≠1．
當f(3)＝0時，a＝－，
此時f(x)＝x²－x－．
令f(x)＝0，即x²－x－＝0，
解得x＝－或x＝3．
方程在[－1,3]上有兩個實數根，不合題意，故a≠－．
所以a的取值范圍為a>1或a<－．