Question

已知數列{a_n}的前n項和為Sn，a1=-

1

2

，

1

Sn

+Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)．
（1）求S₁，S₂，S₃，S₄的值；
（2）猜想S_n的表達式；并用數學歸納法加以證明．

Answer 1

（1）∵數列{a_n}的前n項和為Sn，a1=-

1

2

，

1

Sn

+Sn-1=-2(n≥2，n∈N*)，
∴S1=-

1

2

，S2=-

2

3

，S3=-

3

4

，S4=-

4

5

．…（4分）（每個1分）
（2）猜想Sn=-

n

n+1

(n∈N*)，…（6分）
數學歸納法證明：（1）當n=1時，S1=a1=-

1

2

，猜想成立；…．（7分）
（2）假設n=k（k≥2，k∈N^* ）時猜想成立，即有：Sk=-

k

k+1

，
則n=k+1時，因為

1

Sk+1

=-Sk-2…（8分）
∴

1

Sk+1

=

k

k+1

-2=-

k+2

k+1

；…（10分）
從而有Sk+1=-

k+1

k+2

，即n=k+1時，猜想也成立；
由（1）（2）可知，Sn=-

n

n+1

(n∈N*)，成立…（12分）