Question

如圖，設拋物線c₁：y²=4mx（m＞0）的準線與x軸交于F₁，焦點為F₂，以F₁、F₂為焦點，離心率e=

1

2

的橢圓c₂與拋物線c₁在x軸上方的一個交點為P．
（1）當m=1時，求橢圓的方程；
（2）在（1）的條件下，直線l經過橢圓c₂的右焦點F₂，與拋物線c₁交于A₁、A₂，如果以線段A₁A₂為直徑作圓，試判斷點P與圓的位置關系，并說明理由；
（3）是否存在實數m，使得△PF₁F₂的邊長是連續的自然數，若存在，求出這樣的實數m；若不存在，請說明理由．

Answer 1

∵c₁：y²=4mx的右焦點F₂（m，0）
∴橢圓的半焦距c=m，又e=

1

2

，
∴橢圓的長半軸的長a=2m，短半軸的長b=

3

m．
橢圓方程為

x2

4m2

+

y2

3m2

=1．
（1）當m=1時，故橢圓方程為

x2

4

+

y2

3

=1，（3分）
（2）依題意設直線l的方程為：x=ky+1，k∈R
聯立

y2=4x x2 4 + y2 3 =1

得點P的坐標為P(

2

3

，

2 6

3

)．
將x=ky+1代入y²=4x得y²-4ky-4=0．
設A₁（x₁，y₁）、A₂（x₂，y₂），由韋達定理得y₁+y₂=4k，y₁y₂=-4．
又

PA1

=(x1-

2

3

，y1-

2 6

3

)，

PA2

=(x2-

2

3

，y2-

2 6

3

)．

PA1

•

PA2

=x1x2-

2

3

(x1+x2)+

4

9

+y1y2-

2 6

3

(y1+y2)+

24

9

=-

24k2+24 6 k+11

9

=-

24(k+ 6 2 )2-25

9

．
∵k∈R，于是

PA1

•

PA2

的值可能小于零，等于零，大于零．
即點P可在圓內，圓上或圓外．（8分）
（3）假設存在滿足條件的實數m，
由

y2=4mx x2 4m2 + y2 3m2 =1

解得：P(

2

3

m，

2 6

3

m)．
∴|PF2|=

2

3

m+m=

5

3

m，|PF1|=4m-|PF2|=

7

3

m，又|F1F2|=2m=

6

3

m．
即△PF₁F₂的邊長分別是

5

3

m、

6

3

m、

7

3

m．
∴m=3時，能使△PF₁F₂的邊長是連續的自然數．（14分）