Question

【題目】已知函數，.

（1）當時，求的單調區間；

（2）若有兩個零點，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）

【解析】

（1）求出函數的導數，解關于導函數的不等式，求出函數的單調區間即可；

（2）記t=lnx+x，通過討論a的范圍，結合函數的單調性以及函數的零點的個數判斷a的范圍即可．

（1）定義域為：，

當時，.

∴在時為減函數；在時為增函數.

（2）記，則在上單增，且.∴ .∴在上有兩個零點等價于在上有兩個零點.

①在時，在上單增，且，故無零點；②在時，在上單增，又，，故在上只有一個零點；

③在時，由可知在時有唯一的一個極小值.

若，，無零點；若，，只有一個零點；若時，，而，由于在時為減函數，可知：時，.從而，∴在和上各有一個零點.綜上討論可知：時有兩個零點，即所求的取值范圍是.