Question

【題目】設函數，是定義域為R上的奇函數．

（1）求的值；

（2）已知，函數，，求的值域；

（3）若，試問是否存在正整數，使得對恒成立？若存在，請求出所有的正整數；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】（1）（2）（3）

【解析】試題分析：

試題解析：（1）先利用 為上的奇函數得 求出以及函數的表達式，（2）先由 得，得出函數的單調性，再對 進行整理，整理為用表示的函數，最后利用函數的單調性以及值域，得到的值域．

（3）利用換元法，將不等式轉化為對勾函數問題求解，注意分類討論思想的應用．

試題解析：（1）是定義域為R上的奇函數， ，得．

（2），即，或（舍去），

令，由（1）知在[1，2]上為增函數，∴，

，

當時，有最大值；當時，有最小值，

∴的值域．

（3）=，，

假設存在滿足條件的正整數，則，

①當時，．

②當時，，則，令，則，易證在上是增函數，∴．

③當時，，則，令，則，易證在上是減函數，∴．

綜上所述，，∵是正整數，∴=3或4．

∴存在正整數=3或4，使得對恒成立．