Question

【題目】已知函數f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13．
（1）先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子（骰子六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6），骰子向上的數字一次記為a，b，求方程f（x）=0有兩個不等正根的概率；
（2）如果a∈[2，6]，求函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數的概率．

Answer 1

【答案】
（1）解：如果先后拋擲的一枚均勻的骰子所得的向上的點數記為（a，b），

則基本事件總數n=6×6=36，

設事件A表示“f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13=0有兩個不等正根“，

則事件A滿足： ，

滿足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4個，

∴方程f（x）=0有兩個不等正根的概率p（A）= ．

（2）解：設事件B表示“函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數”，

∵a∈[2，6]，f（x）=x2﹣2（a﹣2）x﹣b2+13的對稱軸為x=a﹣2∈[0，4]，區間長為4，

f（x）在區間[2，3]上為增函數時，只要對稱軸不在[2，3]上即可，

∴對稱軸不在[2，3]的區間長為3，

根據幾何概型定義得函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數的概率P（B）=

【解析】1、由題意可得基本事件總數=36根據題意二次函數有兩個不等的正根利用列舉法求出滿足事件A的基本事件個數由此求出方程f（x）=0有兩個不等正根的概率。
2、由題意可知設事件B表示“函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數”根據題意可知f（x）在區間[2，3]上為增函數時只要對稱軸不在[2，3]上即可根據幾何概型定義得函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數的概率。