Question

在銳角△ABC中，b=2，B=，sin2A+sin（A-C）-sinB=0，則△ABC的面積為    ．

Answer 1

【答案】分析：根據三角形的內角和定理得到三個角之和為π，表示出B，代入已知的等式中，利用誘導公式化簡，再利用二倍角的正弦函數公式及和差化積公式變形，提取2cosA，等式左邊變為積的形式，根據兩數之積為0，至少有一個為0，可得cosA=0或sinA=sinC，由cosA=0，根據A為三角形的內角，可得A為直角，但三角形為銳角三角形，矛盾，故舍去；由sinA=sinC，根據A和C都為銳角，可得A=C，又B為，可得三角形為等邊三角形，且邊長為2，進而求出等邊三角形的面積即可．
解答：解：∵A+B+C=π，∴B=π-（A+C），
∴sinB=sin[π-（A+C）]=sin（A+C），
代入sin2A+sin（A-C）-sinB=0得：sin2A-[sin（A+C）-sin（A-C）]=0，
變形得：2sinAcosA-2cosAsinC=0，即2cosA（sinA-sinC）=0，
所以cosA=0或sinA=sinC，
解得A=（又銳角△ABC，此情況不滿足，舍去）或A=C，
所以A=C，又B=，b=2，
所以△ABC為邊長為2的等邊三角形，
則△ABC的面積S=×2²=．
故答案為：
點評：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識有誘導公式，和差化積公式，二倍角的正弦函數公式，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握公式是解本題的關鍵．