Question

某企業有兩個生產車間，分別位于邊長是的等邊三角形的頂點處（如圖），現要在邊上的點建一倉庫，某工人每天用叉車將生產原料從倉庫運往車間，同時將成品運回倉庫．已知叉車每天要往返車間5次，往返車間20次，設叉車每天往返的總路程為.（注：往返一次即先從倉庫到車間再由車間返回倉庫）

(Ⅰ）按下列要求確定函數關系式：

①設長為，將表示成的函數關系式；

②設，將表示成的函數關系式.

(Ⅱ）請你選用(Ⅰ）中一個合適的函數關系式，求總路程 的最小值，并指出點的位置．

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）①；②；

（Ⅱ）當時，總路程最小,最小值為．

【解析】

試題分析：（Ⅰ）①是借助余弦定理將用表示出來，然后根據的實際意義利用表示出來，但同時也應注意自變量的取值范圍；②借助正弦定理將、的長度用表示出來，然后將利用以為自變量的函數表示出來，并注意自變量的取值范圍；（Ⅱ）選擇②中的函數解析式，利用導數求極值，從而確定的最小值.

試題解析： (Ⅰ）①在中，，，，

由余弦定理，，

所以．      3分

②在中，，，， 

.

由正弦定理，，

得，，

則．      6分

(Ⅱ）選用(Ⅰ）中的②的函數關系式，，

，

由得，，記，

則當時，，；當時，，；

所以當，時，總路程最小值為，

此時，，

答：當時，總路程最小,最小值為．         13分

考點：正弦定理、余弦定理、函數的極值與最值