Question

（2012•北海一模）若

C

1 n

=

C

5 n

，則(x-

1

x

)n+3的展開式中x³的系數是

-84

．

Answer 1

分析：先根據

C

1 n

=

C

5 n

，求出n，利用二項展開式的通項公式求出通項，令通項中x的指數為3，求出展開式中x3項的系數．

解答：解：由C_n⁵=C_n¹并且結合組合數的公式

C

m n

=

n!

m!•(n-m)!

可得：

n!

5!(n-5)!

=

n!

1!(n-1)!

，
整理可得：5×4×3×2=（n-1）（n-2）（n-3）（n-4）
所以解得：n-1=5⇒n=6．
(x-

1

x

)n+3的展開式的通項為
Tr+1=

C

r 9

(x)9-r(-

1

x

)r═C₉^r（x）^9-2r（-1）^r，
令9-2r=3⇒r=3，
x³的系數為C₉³（-1）³=-84．
故答案為：-84．

點評：本題主要考查組合數公式以及二項式定理的應用，解決此類問題的關鍵是熟練記憶組合數公式，并且對學生的運算技巧也有較高的要求．