Question

在數列{}中，，并且對任意都有成立，令．
（Ⅰ）求數列{}的通項公式；
（Ⅱ）設數列{}的前n項和為，證明：

Answer 1

（Ⅰ）
（Ⅱ）見解析

解析試題分析：（I）、當n=1時，先求出b₁=3，當n≥2時，求得b _n+1與b_n的關系即可知道b_n為等差數列，然后便可求出數列{b_n}的通項公式；
（II）根據（I）中求得的b_n的通項公式先求出數列{}的表達式，然后求出T_n的表達式，根據不等式的性質即可證明<T_n＜
解：（Ⅰ）當n=1時，,當時，
由得所以------------4分
所以數列是首項為3，公差為1的等差數列，
所以數列的通項公式為-------------5分
（Ⅱ）------------------------------------7分
-------------------11分

可知Tn是關于變量n的增函數，當n趨近無窮大時，的值趨近于0，
當n=1時Tn取最小值，故有----------------14分
考點：本題主要考查了數列的遞推公式以及等差數列與不等式的結合，考查了學生的計算能力和對數列的綜合掌握，解題時注意整體思想和轉化思想的運用，屬于中檔題
點評：解決該試題的關鍵是運用整體的思想來表示出遞推關系，然后進而利用函數的單調性的思想來放縮得到證明。