Question

設F₁，F₂是橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的左右焦點，若該橢圓上一點P滿足|PF₂|=|F₁F₂|，且以原點O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF₁有公共點，則該橢圓離心率e的取值范圍是______．

Answer 1

∵點P在橢圓C上，∴根據橢圓的定義，可得|PF₁|+|PF₂|=2a．
又∵|PF₂|=|F₁F₂|=2c，∴|PF₁|=2a-2c
過點F₂作F₂D⊥PF₁于D點，過點O作OE⊥PF₁于E點，
∵|PF₂|=|F₁F₂|，
∴△PF₁F₂是等腰三角形，可得D是PF₁的中點，DF₁=

1

2

|PF₁|=a-c，
Rt△DF₁F₂中，|DF₁|²+|DF₂|²=|F₁F₂|²，
∴|DF₂|=

|F1F2|2-|DF1|2

=

4c2-(a-c)2

=

3c2+2ac-a2

．
∵△DF₁F₂中，OE是中位線，∴|OE|=

1

2

|DF₂|=

1

2

3c2+2ac-a2

．
又∵以原點O為圓心，以b為半徑的圓與直線PF₁有公共點，
∴原點O到直線PF₁的距離小于b，即|OE|≤b，得

1

2

3c2+2ac-a2

≤b，
化簡得3c²+2ac-a²≤4（a²-c²），即7c²+2ac-5a²≤0，兩邊都除以a²得7e²+2e-5≤0，解之得-1≤e≤

5

7

．
結合橢圓的離心率e∈（0，1），可得0＜e≤

5

7

．
又∵等腰△PF₁F₂中，|PF₂|+|F₁F₂|＞|PF₂|，
∴2c+2c＞2a-2c，得a＜3c，所以e=

c

a

＞

1

3

．
綜上所述，橢圓的離心率e的取值范圍是(

1

3

，

5

7

]．
故答案為：(

1

3

，

5

7

]