Question

【題目】在平面直角坐標系中,以原點為極點, 軸正半軸為極軸,取相同的單位長度建立極坐標系,已知曲線,直線.

(1)將曲線上所有點的橫坐標、縱坐標分別伸長為原來的2倍、倍后得到曲線,請寫出直線,和曲線的直角坐標方程；

(2)若直線經過點且與曲線交于點,求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）2

【解析】分析：（1）根據極坐標和直角坐標系間的轉化公式及變換公式可得所求的方程．（2）由題意可求得直線的參數方程，將其代入曲線的方程消元后得到關于參數的二次方程，然后根據參數的幾何意義可得所求．

詳解：（1）將代入，可得，

∴直線的直角坐標方程為．

設曲線上任一點坐標為，則，所以，

代入得，

所以的方程為．

（2）直線：的傾斜角為，

由題意可知直線的參數方程為（為參數），

把（為參數）代入曲線的方程整理得．

設點對應的參數分別為，

則，

由直線參數的幾何意義可知．