Question

定義在R上的函數f（x）滿足：對于任意的x，y∈R，都有f（x+y）=f（x）+f（y）-2011且當x＞0時，有f（x）＞2011，設M、N分別為f（x）在[-2012，2012]的最大值與最小值，則M+N的值為（　　）

A．4022

B．4024

C．2011

D．2012

Answer 1

分析：將f（x+y）=f（x）+f（y）-2011變形為f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，令x＞0，結合“當x＞0時，有f（x）＞2011”分析可得，f（x）在[-2011，2011]上為增函數，則有M=f（2011），N=f（-2011）；在f（x+y）=f（x）+f（y）-2011中，令x=y=0可得，f（0）=2011，再令x=2011，y=-2011可得，f（2011）+f（-2011）=4022，又由M=f（2011），N=f（-2011），代換可得答案．

解答：解：根據題意，f（x+y）=f（x）+f（y）-2011⇒f（x+y）-f（y）=f（x）-2011，
當x＞0時，有（x+y）-y＞0，此時f（x+y）-f（y）=f（x）-2011＞0，
則f（x）在[-2011，2011]上為增函數，
故M=f（2011），N=f（-2011）；
對于f（x+y）=f（x）+f（y）-2011，
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）-2011，即f（0）=2011，
再令x=2011，y=-2011可得，f（0）=f（2011）+f（-2011）-2011，
即f（2011）+f（-2011）=f（0）+2011=4022，
又由M=f（2011），N=f（-2011），
則M+N=4022，
故選A．

點評：本題考查抽象函數的運用，解此類題目一般用特殊值法，解本題關鍵要判斷出f（x）的單調性，進而得到M、N的值．