Question

某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室，要求個體教職員工都參加其中的某一項目.據調查統計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而去娛樂室的人有20%下次去健身房，設第n次去健身房的人數為a_n.

（1）試用a_n表示a_n+1；

（2）隨著時間的推移，去健身房的人數能否趨于穩定？說明理由.

Answer 1

解:（1）由第n次去健身房的人數為a_n，得第n次去娛樂室的人數為150-a_n.

依題意得a_n+1=a_n+(150-a_n)=a_n+30.

（2）解法1：由a_n-1=a_n+30+30,

設=A,則=A.

∴A=A+30,解得A=100.

故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右.

解法2：令a_n+1-x=（a_n-x）,則a_n+1=a_n+x，

∴310x=30，得x=100，則a_n+1-100=（a_n-100），

∴{a_n-100}是首項為 a₁-100,公比為的等比數列.

故a_n-100=（a₁-100）·()^n-1，即a_n=100+(a₁-100)·()^n-1,

∴=100,故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右.