Question

【題目】如圖，四棱錐P﹣ABCD的底面ABCD是平行四邊形，側面PAD是邊長為2的正三角形，AB=BD= ，PB=
（Ⅰ）求證：平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）設Q是棱PC上的點，當PA∥平面BDQ時，求二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）證明：取AD中點O，連結OP，OB， ∵PAD是邊長為2的正三角形，∴ ，
∵ ，
∴OB2+OP2=PB2 ， 則OP⊥OB，
∵OB∩AD=O，∴OP⊥平面ABCD，
又OP平面PAD，∴平面PAD⊥平面ABCD；
（Ⅱ）解：連接AC交BD于E，連接QE，
∵PA∥平面BDQ，∴PA∥QE，
又E為AC的中點，∴Q為PC的中點．
以O為原點，分別以OA、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（0，2，0），D（﹣1，0，0），Q（﹣1，1， ）．
．
設平面BDQ的一個法向量為 ．
由 ，得 ，取z=2 ，得 ．
由圖可知，平面ABD的一個法向量 ．
∴cos＜ ＞= = ．
∴二面角A﹣BD﹣Q的余弦值為 ．

【解析】（Ⅰ）取AD中點O，連結OP，OB，求解三角形可得OP⊥AD，OP⊥OB，再由線面垂直的判定可得OP⊥平面ABCD，進一步得到平面PAD⊥平面ABCD；（Ⅱ）連接AC交BD于E，連接QE，由線面平行的性質可得PA∥QE，則Q為PC的中點．以O為原點，分別以OA、OB、OP所在直線為x、y、z軸建立空間直角坐標系，求出所用點的坐標，得到平面BDQ與平面ABD的一個法向量，由兩法向量所成角的余弦值得二面角A﹣BD﹣Q的余弦值．