Question

【題目】已知函數(shù).

（1）若函數(shù)在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)，確定函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

（3）若存在正實(shí)數(shù)對(duì)，使得當(dāng)時(shí)，能成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）；（2）個(gè)；（3）.

【解析】

（1）由題意可知，對(duì)任意的恒成立，利用參變量分離法和基本不等式可求得實(shí)數(shù)的最大值；

（2）當(dāng)時(shí)，，利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)的單調(diào)性，并求出該函數(shù)的極大值和極小值，進(jìn)而可得出函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

（3）當(dāng)時(shí)，由可得，令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)在區(qū)間上的值域，即可得出實(shí)數(shù)的取值范圍.

（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，，

由題意可知對(duì)任意的恒成立，，

當(dāng)時(shí)，由基本不等式可得，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，

所以，，因此，實(shí)數(shù)的最大值為；

（2）當(dāng)時(shí)，，定義域?yàn)?/span>，.

令，得或，列表如下：

		極大值		極小值

所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為.

所以，函數(shù)的極大值為，極小值為，

且，

所以，函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)；

（3），，

，

令，得，構(gòu)造函數(shù)，，

令，得，，解得，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)，.

所以，函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

所以，函數(shù)的最小值為，

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.

因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是.