Question

（2010•河?xùn)|區(qū)一模）如果橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，則橢圓的離心率為（　　）

• A．

  3

  4

• B．

  2

  3

• C．

  3

  5

• D．

  9

  10

Answer 1

分析：設(shè)出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，由題意結(jié)合等差中項(xiàng)的定義建立關(guān)于a、b、c的等式，結(jié)合b²=a²-c²消去b得到關(guān)于a、c的二次方程，解之可得c、a的比值，即得此橢圓的離心率．

解答：解：設(shè)橢圓的方程為

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)
∵橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，
∴2×2b=2c+2a，可得b=

1

2

（a+c）
∵b²=a²-c²，
∴[

1

2

（a+c）]²=a²-c²，化簡得5c²+2ac-3a²=0
等式兩邊都除以a²，得5e²+2e-3=0，解之得e=

3

5

（-1舍去）
即橢圓的離心率為

3

5

故選：C

點(diǎn)評：本題給出橢圓的焦距、短軸長、長軸長成等差數(shù)列，求橢圓的離心率．著重考查了等差中項(xiàng)的概念和橢圓的定義與標(biāo)準(zhǔn)方程等知識(shí)，屬于基礎(chǔ)題．