Question

【題目】已知函數(shù)是偶函數(shù).

（1）求證：是偶函數(shù)；

（2）求證：在上是增函數(shù)；

（3）設(shè)（，且），若對(duì)任意的，在區(qū)間上總存在兩個(gè)不同的數(shù)，，使得成立，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）.

【解析】分析：（1）直接利用奇偶性的定義證明即可；（2）設(shè)，則 ，分解因式可得，從而可得結(jié)論；（3）由（1）和（2），得在上是減函數(shù)，則，當(dāng)時(shí)，結(jié)合函數(shù)圖象可得，解得，即；當(dāng)時(shí)，直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，不合題意，從而可得結(jié)果.

詳解：（1）函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，

因?yàn)?/span>，

所以是偶函數(shù).

（2）證明：設(shè)，則

.

由，得，，，

所以，即，

所以在上是增函數(shù).

（3）解：由（1）和（2），得在上是減函數(shù)，則.

.

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>.

當(dāng)直線與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，

，解得，即.

當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?/span>，而，

所以直線與函數(shù)的圖象沒(méi)有交點(diǎn)，此時(shí)不符合題意.

綜上，所求的取值范圍是.