Question

已知橢圓的離心率為，橢圓的的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，
（1）求橢圓C的方程；
（2）已知直線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M（， 0），求證為定值.

Answer 1

（1）；（2）參考解析

試題分析：（1）要求橢圓的方程需要找到關(guān)于的兩個(gè)等式即可.由離心率可以得到一個(gè)，又由橢圓的的一個(gè)頂點(diǎn)和兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成的三角形的面積為4，可以得到一個(gè)等式，即可求出橢圓的方程.
（2）由線與橢圓C交于A, B兩點(diǎn)，若點(diǎn)M（， 0），所以要表示出的結(jié)果，通過直線方程與橢圓方程聯(lián)立即可得一個(gè)二次方程.寫出韋達(dá)定理，再根據(jù)向量與向量的數(shù)量積所得到的關(guān)系式即可得到一個(gè)定值.
試題解析：（1）因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240338375271085.png" style="vertical-align:middle;" />滿足,,
.解得,則橢圓方程為.         4分
（2）把直線代入橢圓的方程得
設(shè)解得，

=
=
==
所以為定值.         12分