Question

（理）已知圓M：（x+）²+y²=36，定點N（），點P為圓M上的動點，點G在MP上，且滿足|GP|=|GN|
（1）求點G的軌跡C的方程；
（2）過點（2，0）作直線l，與曲線C交于A、B兩點，O是坐標原點，設，是否存在這樣的直線l，使四邊形OASB的對角線相等（即|OS|=|AB|）？若存在，求出直線l的方程；若不存在，試說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由|PG|=|GN|，知|GN|+|GM|=|MP|=6，由橢圓定義可知，點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，由此能求出點G的軌跡C的方程．
（2）因為=，所以四邊形OASB為平行四邊形，假設存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形，故．由此能夠推出導出存在直線l的方程為3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四邊形OASB的對角線相等．
解答：解：（1）∵|PG|=|GN|，∴|GN|+|GM|=|MP|=6，
又∵|MN|=2，∴|GN|+|GM|＞|MN|，
由橢圓定義可知，點G的軌跡是以M、N為焦點的橢圓，
設方程為，
則2a=6，2c=2，∴a=3，c=，b==2，
∴點G的軌跡方程是．…（5分）
（2）因為=，所以四邊形OASB為平行四邊形，
假設存在l使得||=||，則四邊形OASB為矩形，
∴．
①當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=2，
由，得，
此時，或矛盾，不合題意，舍去．
②當直線l的斜率存在時，設l的方程為y=k（x-2），
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由，得（9k²+4）x²-36k²x+36（k²-1）=0，
△=（-36k²）²-144（9k²+4）（k²-1）=720k²+576＞0．（※）
∴，=，①
y₁y₂=[k（x₁-2）][k（x₂-2）]
=k²[x₁x₂-2（x₁+x₂）+4]
=-，②
把①②代入x₁x₂+y₁y₂=0，
解得k=，代入（※）式，驗證成立．
∴直線l的方程為y=（x-2），即3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，
故存在直線l的方程為3x-2y-6=0，或3x+2y-6=0，使四邊形OASB的對角線相等．
點評：本題考查點的軌跡方程的求法，考查直線方程的求法．解題時要認真審題，仔細解答，注意等價轉化思想、分類討論思想的合理運用．