Question

（理）已知圓（x+4）²+y²=25的圓心為M₁，圓（x-4）²+y²=1的圓心為M₂，一個動圓與這兩個圓都外切． 
（Ⅰ）求動圓圓心M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）若經過點M₂的直線與（Ⅰ）中的軌跡C有兩個交點A、B，求|AM₁|•|BM₁|的最小值．

Answer 1

分析：（I）利用定義法求動點M的軌跡方程，先利用圓與圓相切的幾何條件，得到動點M滿足的幾何條件，再由曲線定義判斷曲線形狀，最后寫出曲線的標準方程；（II）將經過點M₂的直線方程設為x=ty+4形式，代入（I）中的曲線，利用韋達定理和焦半徑公式，將所求轉化為關于t的函數，求其最小值即可

解答：解：（I）∵動圓M與這兩個圓都外切，
∴|MM₁|-5=|MM₂|-1
即|MM₁|-|MM₂|=4，
∵|MM₁|-|MM₂|=4，4＜|M₁M₂|=8
∴動圓圓心M的軌跡是以M₁，M₂為焦點的雙曲線的右支
由定義可得 c=4，a=2，b²=12
∴動圓圓心M的軌跡C的方程為

x2

4

-

y2

12

=1（x≥2）
（II）∵M₂（4，1），
∴設經過點M₂的直線方程為x=ty+4
代入雙曲線方程

x2

4

-

y2

12

=1，并整理得（3t²-1）y²+24ty+36=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則有△＞0，y₁+y₂=-

24t

3t2-1

，y₁y₂=

36

3t2-1

由y₁y₂＜0，得t2＜

1

3

而|AM₁|•|BM₁|=e（x₁+1）•e（x₂+1）=4（ty₁+5）（ty₂+5）
=4[t²（y₁y₂）+5t（y₁+y₂）+25]
=4[t²•

36

3t2-1

+5t•（-

24t

3t2-1

）+25]
=-112×（1+

1

3t2-1

）+100
∵-1≤3t²-1＜0
∴當3t²-1=-1時，即t=0時，|AM₁|•|BM₁|取得最小值100

點評：本題考查了定義法求動點軌跡方程的方法，直線與雙曲線的位置關系，韋達定理的應用及設而不求的解題技巧