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設函數f（x）對其定義域內的任意實數 $數學公式$ ，則稱函數f（x）為上凸函數．若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有 $數學公式$ （當x₁=x₂=x₃=…=x_n時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且 $數學公式$ ；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是 $數學公式$ ．
其中，正確命題的序號是________（寫出所有你認為正確命題的序號）．

①③④
分析：作圖可知①正確，②不正確．對于③，如圖，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為 $\text{[math]}$ ，點D的坐標為 $\text{[math]}$ ，故 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ．對于④，因為f（x）=sinx在 $\text{[math]}$ 上是凸函數，由琴生不等式知 $\text{[math]}$ ．
解答：

解：作圖可知①正確，②不正確．
對于③，如圖，因為f（x）上凸函數，則點C在點D的下方，點C的縱坐標為 $\text{[math]}$ ，
點D的坐標為 $\text{[math]}$ ，
于是得 $\text{[math]}$ ≥ $\text{[math]}$ ，即③正確．
對于④，因為f（x）=sinx在 $\text{[math]}$ 上是凸函數，
由琴生不等式知 $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ ，
所以 $\text{[math]}$ ，
當A=B=C時，�、苷_．
綜上所述，正確命題是①③④．
點評：本題考查命題真假的判斷與應用，解題時要認真審題，注意數形結合思想的靈活運用，挖掘題設中的隱含條件，合理地進行等價轉化．

練習冊系列答案

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科目：高中數學 來源： 題型：

（2012•眉山一模）設函數f（x）對其定義域內的任意實數x1與x2都有f(

x1+x2

)≥

f(x1)+f(x2)

，則稱函數f（x）為上凸函數．若函數f（x）為上凸函數，則對定義域內任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有f(

x1+x2+…+xn

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

（當x₁=x₂=x₃=…=x_n時等號成立），稱此不等式為琴生不等式，現有下列命題：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函數；
②二次函數f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函數的充要條件是a＞0；
③f（x）是上凸函數，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）圖象上任意兩點，點C在線段AB上，且

=λ

，則f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④設A，B，C是一個三角形的三個內角，則sinA+sinB+sinC的最大值是

．
其中，正確命題的序號是

①③④

（寫出所有你認為正確命題的序號）．

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