Question

已知二次函數f（x）=ax²+bx（a，b為常數，且a≠0）滿足條件：f（x-1）=f（3-x）且方程f（x）=2x有等根．
（1）求f（x）的解析式；
（2）是否存在實數m，n（m＜n），使f（x）的定義域和值域分別為[m，n]和[4m，4n]，如果存在，求出m，n的值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）由方程ax²+bx-2x=0有等根，則△=0，得b，又由f（x-1）=f（3-x）知此函數圖象的對稱軸方程為x=-

b

2a

=1，得a，從而求得f（x）．
（2）由f（x）=-（x-1）²+1≤1，知4n≤1，即n≤

1

4

．由對稱軸為x=1，知當n≤

1

4

時，f（x）在[m，n]上為增函數．所以有

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

，最后看是否滿足m＜n≤

1

4

即可．

解答：解：（1）∵方程ax²+bx-2x=0有等根，∴△=（b-2）²=0，得b=2．
由f（x-1）=f（3-x）知此函數圖象的對稱軸方程為x=-

b

2a

=1，得a=-1，故f（x）=-x²+2x．
（2）∵f（x）=-（x-1）²+1≤1，∴4n≤1，即n≤

1

4

．
而拋物線y=-x²+2x的對稱軸為x=1，∴當n≤

1

4

時，f（x）在[m，n]上為增函數．
若滿足題設條件的m，n存在，則

f(m)=4m f(n)=4n

即

-m2+2m=4m -n2+2n=4n

?

m=0或m=-2 n=0或n=-2

又m＜n≤

1

4

．
∴m=-2，n=0，這時，定義域為[-2，0]，值域為[-8，0]．
由以上知滿足條件的m，n存在，m=-2，n=0．

點評：本題主要考查函數與方程的綜合運用，還考查了二次函數解析式的常用解法及分類討論，轉化思想．