Question

已知橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，A、B是橢圓的左、右頂點，P是橢圓上不同于A、B的一點，直線PA、PB斜傾角分別為α、β，則

cos(α-β)

cos(α+β)

=______．

Answer 1

由題意，A（-a，0），B（a，0），設P（x，y），則tanα=

y

x+a

，tanβ=

y

x-a

∴tanα•tanβ=

y

x+a

•

y

x-a

=

y2

x2-a2

∵橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的離心率e=

3

2

，
∴

a2-b2

a2

=

3

4

∴a²=4b²
∴

x2

4b2

+

y2

b2

=1
∴y2=b2-

x2

4

=

a2-x2

4

∴

y2

x2-a2

=-

1

4

∴tanα•tanβ=-

1

4

∴

cos(α-β)

cos(α+β)

=

cosαcosβ+sinαsinβ

cosαcosβ-sinαsinβ

=

1+tanαtanβ

1-tanαtanβ

=

1- 1 4

1+ 1 4

=

3

5

故答案為：

3

5