Question

過動點M（a，0）且斜率為1的直線l與拋物線y²=2px（p＞0）交于不同的兩點A、B，試確定實數(shù)a的取值范圍，使|AB|≤2p．

Answer 1

由題意，直線l的方程為y=x-a，將y=x-a代入y²=2px，得x²-2（a+p）x+a²=0．
設(shè)直線l與拋物線的兩個交點的坐標為A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），
則

4(a+p)2-4a2＞0 x1+x2=2(a+p) x1x2=a2.

又y₁=x₁-a，y₂=x₂-a，
∴|AB|=

(x1-x2)2+(y1-y2)2

=

2[(x1+x2)2-4x1x2]

=

8p(p+2a)

．
∵0＜|AB|≤2p，8p（p+2a）＞0，∴0＜

8p(p+2a)

≤2p．
解得-

p

2

＜a≤-

p

4

．
故a∈(-

p

2

，-

p

4

]時，有|AB|≤2p．