Question

在數列{a_n}，{b_n}中，a₁=2，b₁=4，且a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列（n∈N^*）．
（Ⅰ）求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄，由此猜測{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）證明你的結論；
（Ⅲ）證明：

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

5

12

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由a_n，b_n，a_n+1成等差數列，b_n，a_n+1，b_n+1成等比數列得關系式2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_n•b_n+1
把a₁=2，b₁=4循環代入上面兩個式子可求a₂，a₃，a₄和b₂，b₃，b₄，并由此猜測出{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）利用數學歸納法加以證明；
（Ⅲ）當n=1時直接驗證，當n大于等于2時放縮后利用裂項相消法證明．

解答：（Ⅰ）解：由已知得2b_n=a_n+a_n+1，a_n+1²=b_n•b_n+1．
又a₁=2，b₁=4，
由此可得a₂=6，a₃=12，a₄=20，b₂=9，b₃=16，b₄=25．
猜測a_n=n（n+1），b_n（n+1）²．
（Ⅱ）用數學歸納法證明：
①當n=1時，由（Ⅰ）可得結論成立．
②假設當n=k時，結論成立，即a_k=k（k+1），b_k=（k+1）²．
那么當n=k+1時，a_k+1=2b_k-a_k=2（k+1）²-k（k+1）=（k+1）（k+2），
b_k+1=

ak+12

bk

=（k+2）²．
所以當n=k+1時，結論也成立．
由①②可知a_n=n（n+1），b_n=（n+1）²對一切正整數都成立．
（Ⅲ）證明：

1

a1+b1

=

1

6

＜

5

12

．
n≥2時，由（Ⅰ）知a_n+b_n=（n+1）（2n+1）＞2（n+1）n．
故

1

a1+b1

+

1

a2+b2

+…+

1

an+bn

＜

1

6

+

1

2

[

1

2•3

+

1

3•4

+…+

1

n(n+1)

]
=

1

6

+

1

2

（

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

）
=

1

6

+

1

2

（

1

2

-

1

n+1

）＜

1

6

+

1

4

=

5

12

．

點評：本題考查了等差數列和等比數列的通項公式，是數列與不等式的綜合題，考查了數學歸納法，訓練了放縮法及列項相消法證明不等式，是中檔題．