Question

（1）已知，求tanx的值．
（2）已知，，，求sinα和cosβ的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將已知等式左右兩邊平方，利用同角三角函數間的基本關系化簡，求出2sinxcosx的值小于0，由x的范圍得到sinx大于0，cosx小于0，利用完全平方公式求出sinx-cosx的值，與已知等式聯立求出sinx與cosx的值，即可確定出tanx的值；
（2）由α的范圍及cosα的值，利用同角三角函數間的基本關系求出sinα的值，由sin（α+β）的值大于0，及α與β的范圍，求出α+β的范圍，利用同角三角函數間的基本關系求出cos（α+β）的值，將cosβ變形為cos[（α+β）-α]，利用兩角和與差的余弦函數公式化簡后，把各自的值代入即可求出值．
解答：解：（1）將sinx+cosx=②兩邊平方得：（sinx+cosx）²=，
∴1+2sinxcosx=，即2sinxcosx=-＜0，
∵x∈（0，π），∴sinx＞0，cosx＜0，
∴（sinx-cosx）²=1-2sinxcosx=，
∴sinx-cosx=②，
聯立①②解得：sinx=，cosx=-，
則tanx==-；
（2）∵0＜α＜＜β＜π，且sin（α+β）=＞0，cosα=，
∴＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-=-，sinα==，
則cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα=-×+×=-
點評：此題考查了兩角和與差的余弦函數公式，同角三角函數間的基本關系，以及完全平方公式的運用，熟練掌握公式是解本題的關鍵．