Question

設函數(其中).
(1) 當時,求函數的單調區間和極值；
(2) 當時，函數在上有且只有一個零點．

Answer 1

（1）函數的遞減區間為遞增區間為極大值為，極小值為；（2）詳見試題解析．

試題分析：（1）先求，解方程，得可能的極值點，列表可得函數的單調區間和極值；（2）．當時，，在上無零點，故只需證明函數在上有且只有一個零點．分和利用函數的單調性證明函數在上有且只有一個零點．
試題解析：（1）當時，，．
令，得，．
當變化時,的變化如下表:

		極大值		極小值

由表可知，函數的遞減區間為遞增區間為極大值為，極小值為．                                  6分
（2）．當時，，在上無零點，故只需證明函數在上有且只有一個零點．
①若，則當時，在上單調遞增．
在上有且只有一個零點．
②若，則在上單減，上單增．
令則．在上單增，在上單增，，在上有且只有一個零點．
綜上，在上有且只有一個零點．                          13分