Question

已知兩定點F₁(，0)，F₂(，0)，滿足條件|＝2的點P的軌跡是曲線E，直線y＝kx－1與曲線E交于A、B兩點．

(1)求k的取值范圍；

(2)如果|AB|＝，且曲線E上存在點C，使，求m的值和△ABC的面積S．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由雙曲線的定義可知，曲線E是以F1(，0)、F2(，0)為焦點的雙曲線的左支，且c＝，a＝1，易知b＝1． 　　故曲線E的方程為x2－y2＝1(x＜0)． 　　設A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意建立方程組消去y，得(1－k2)x2＋2kx－2＝0． 　　又已知直線與雙曲線左支交于A、B兩點有解得＜k＜－1 　　(2)因為|AB|＝|x1－x2| 　　＝ 　　＝ 　　＝． 　　依題意得＝6． 　　整理后得28k4－55k2＋25＝0． 　　∴k2＝或k2＝． 　　但＜k＜－1，∴k＝． 　　故直線AB的方程為x＋y＋1＝0． 　　設C(xC，yC)，由已知，得(x1，y2)＋(x2，y2)＝(mxc，myc)， 　　∴(xc，yc)＝． 　　又x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2)－2＝， 　　∴點C()． 　　將點C的坐標代入曲線E的方程，得＝1． 　　得m＝±4．但當m＝－4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意． 　　∴m＝4，C點坐標為(，2)． 　　C到AB的距離為． 　　∴△ABC的面積S＝．