Question

已知兩定點F₁(-，0)、F₂(，0)，滿足條件||-||=2的點P的軌跡是曲線E，直線y=kx-1與曲線E交于A、B兩點.

(1)求k的取值范圍；

(2)如果|AB|=6，且曲線E上存在點C，使+=m,求m的值和△ABC的面積S.

Answer 1

解：（1）由雙曲線的定義可知，曲線E是以F₁（-，0）、F₂（，0）為焦點的雙曲線的左支，且c=2,a=1,易知b=1.

故曲線E的方程為x²-y²=1(x＜0).

設A(x₁,y₁)，B(x₂,y₂),由題意建立方程組

消去y,得(1-k²)x²+2kx-2=0.

又已知直線與雙曲線左支交于A、B兩點，有

解得-＜k＜-1.

(2) 因為|AB|=|x₁-x₂|

2

依題意得=63.

整理后得28k⁴-55k²+25=0.

∴k²=或k²=.

但-＜k＜-1,∴k=-.

故直線AB的方程為x+y+1=0.

設C（x_c,y_c），由已知+=m,得（x₁,y₁）+(x₂,y₂)=(mx_C,my_C),

∴(x_C,y_C)=(m≠0).

又x₁+x₂==-4,y₁+y₂=k(x₁+x₂)-2=-2==8,

∴點C().

將點C的坐標代入曲線E的方程，得=1.

得m=±4.但當m=-4時，所得的點在雙曲線的右支上，不合題意.

∴m=4,C點坐標為（-，2）.

C到AB的距離為

∴△ABC的面積S=