Question

(本小題13分)己知函數。
（1）試探究函數的零點個數；
（2）若的圖象與軸交于兩點，中點為，設函數的導函數為, 求證：。

Answer 1

（1）時，有2個零點；時，有1個零點；時沒有零點；（2）證明詳見解析.

試題分析：（1）先求導，求出極值點，然后分類求出函數的零點個數.（2）首先用函數的零根表示出a，，即，=，然后代入中，整理得，設，則，，通過導數求的值域大于0即可得證.
試題解析：（1），則x=是極大值點，函數 極大值，（0， ）是單調增區間，（ ，+）是單調減區間；(1)當，即時，有2個零點；(2)當，即時，有1個零點；(3)當，即時沒有零點；
（2）由得
  
=，令，設，
則，又，，
即，又，。