Question

【題目】 如圖，是等腰直角三角形，，，分別為的中點(diǎn)，沿將折起，得到如圖所示的四棱錐

（1）求證：平面；

（2）當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí)，

(i) 寫出最大體積；

(ii) 求與平面所成角的大小.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）(i)最大體積為；(ii).

【解析】

（1）由翻折前后的不變性，得，，且，可證得；

（2）(i)當(dāng)面底面時(shí)，四棱錐的體積達(dá)到最大；

(ii)當(dāng)四棱錐體積取最大值時(shí)，可得平面ABFE.，以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面的一個(gè)法向量和，再求兩個(gè)向量夾角的余弦值，進(jìn)而得到線面角的正弦值。

證明：（1）因?yàn)?/span>是等腰直角三角形，，分別為的中點(diǎn)，

所以，，又因?yàn)?/span>，

所以，因?yàn)?/span>，

所以.

（2）(i) 當(dāng)面底面時(shí)，四棱錐的體積達(dá)到最大，

則.

(ii) 因?yàn)樗睦忮F體積取最大值,所以平面ABFE.

分別以所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則,，，,，，.

設(shè)平面的一個(gè)法向量為,由得,

取，得．則，

所以，所以與平面所成角的正弦值為，

所以與平面所成角的大小為.