Question

如圖，已知拋物線C的頂點在原點，焦點F在x軸上，拋物線上的點A到F的距離為2，且A的橫坐標為1．過A點作拋物線C的兩條動弦AD、AE，且AD、AE的斜率滿足k_AD•k_AE=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線DE是否過某定點？若過某定點，請求出該點坐標；若不過某定點，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）設拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），由拋物線定義及|AF|=2即可求得p值；
（2）設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），DE方程為x=my+n（m≠0），直線DE方程與拋物線方程聯立消x得y的方程，由韋達定理及k_AD•k_AE=2可得關于m，n的關系式，從而直線DE方程可用m表示，由直線方程的點斜式即可求得定點．

解答：解：（1）設拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），
由其定義知|AF|=1+

p

2

，又|AF|=2，
所以p=2，y²=4x；
（2）易知A（1，2），設D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
DE方程為x=my+n（m≠0），
把DE方程代入C，并整理得y²-4my-4n=0，△=16（m²+n）＞0，y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
由kAD•kAE=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2及

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，得y₁y₂+2（y₁+y₂）=4，即-4n+2×4m=4，
所以n=2m-1，代入DE方程得：x=my+2m-1，即（y+2）m=x+1，
故直線DE過定點（-1，-2）．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的位置關系及拋物線方程的求解，考查直線方程的點斜式，考查學生分析解決問題的能力．