Question

（2013•徐州一模）如圖，已知拋物線C：y²=4x的焦點為F，過F的直線l與拋物線C交于A（x₁，y₁）（y₁＞0），B（x₂，y₂）兩點，T為拋物線的準線與x軸的交點．
（1）若

TA

•

TB

=1，求直線l的斜率；
（2）求∠ATF的最大值．

Answer 1

分析：（1）由題意可得F（1，0），T（-1，0），當直線l與x軸垂直時，經過檢驗不滿足條件．設直線l的方程為y-0=k（x-1），代入拋物線C的方程，利用根與系數的關系求得 x₁+x₂=

2k2+4

k2

，且x₁•x₂=1，且 y₁y₂=-4．結合

TA

•

TB

=1求得k的值．
（2）根據 y₁＞0，tan∠ATF=

y1-0

x1+1

=

y1

y12 4 +1

=

1

y1 4 + 1 y1

，利用基本不等式求得tan∠ATF 的最大值，從而求得∠ATF 的最大值．

解答：解：（1）由題意可得F（1，0），T（-1，0），當直線l與x軸垂直時，A（1，2），B（1，-2），此時，

TA

•

TB

=0，
這與

TA

•

TB

=1矛盾．
故直線l與x軸不垂直，設直線l的方程為 y-0=k（x-1），代入拋物線C：y²=4x的方程化簡可得 k² x²-（2k²+4）x+k²=0．
∴x₁+x₂=

2k2+4

k2

，且x₁•x₂=1…①．
∴(y1y2)2=16x₁•x₂=16，∴y₁y₂=-4…②．
由

TA

•

TB

=1可得 （x₁+1）（x₂+1）+y₁•y₂=1．
把①②代入可得 k²=4，∴k=±2．
（2）∵y₁＞0，tan∠ATF=

y1-0

x1+1

=

y1

y12 4 +1

=

1

y1 4 + 1 y1

≤1，當且僅當

y1

4

=

1

y1

，即 y₁=2時，取等號，
故tan∠ATF 的最大值為1，故∠ATF的最大值為

π

4

．

點評：本題主要考查兩個向量的數量積的運算，拋物線的定義和性質，一元二次方程根與系數的關系以及基本不等式的應用，屬于中檔題．