Question

數列{a_n}的各項均為正數，S_n為其前n項和，對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
（1）求a₁；
（2）求數列{a_n}的通項公式；
（3）設數列{b_n}的前n項和為T_n，且b_n=

1

an2

，求證：對任意正整n，總有T_n＜2．

Answer 1

分析：（1）（2）由題意可得2Sn=an+

a

2 n

，利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

和等差數列的通項公式即可得出．
（3）由（2）可得bn=

1

n2

．當n≥2時，bn＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，利用裂項求和即可證明．

解答：解：（1）∵對于任意的n∈N^*，總有a_n，S_n，a_n²成等差數列．
∴2Sn=an+

a

2 n

，
令n=1，得2a1=2S1=a1+

a

2 1

，解得a₁=1．
（2）當n≥2時，由2Sn=an+

a

2 n

，2Sn-1=an-1+

a

2 n-1

，
得2an=an+

a

2 n

-an-1-

a

2 n-1

，
∴（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵?n∈N^*，a_n＞0，∴a_n-a_n-1=1，
∴數列{a_n}是公差為1的等差數列，
∴a_n=1+（n-1）×1=n．
（3）由（2）可得bn=

1

n2

．
當n≥2時，bn＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

，
∴Tn＜1+(1-

1

2

)+(

1

2

-

1

3

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

＜2．
當n=1時，T₁=b_n=1＜2．
∴對任意正整n，總有T_n＜2．

點評：熟練掌握利用an=

S1，n=1 Sn-Sn-1，n≥2

求a_n和等差數列的通項公式、放縮法、裂項求和等是解題的關鍵．