Question

【題目】已知函數.

（1）求當時，在點處的切線方程；

（2）若關于x的不等式恒成立，求實數的取值范圍。

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】

（1）求出導數，求出及的值，代入點斜式方程即可得到答案；（2）對函數進行求導，令，求出，可得在上單調遞減，故而可得存在，使得，通過單調性與最值的關系可得有最大值，令，求導判斷的單調性，可得出，根據即可得到的取值范圍.

解：（1）當時，因為，

所以，所以，

又，

所以在點處的切線方程為，

即．

（2）由（1）知，令，

則，所以在上單調遞減．

由于，，

則存在，使得，

即．

又，，則，

所以在上單調遞增，

，，則，所以在上單調遞減，

所以在處有最大值，

由恒成立得，即，

所以．

令，則，

所以函數在上單調遞增．

由于，則，解得，所以，

由在上單調遞增，所以，

所以實數的取值范圍為．