Question

（2011•許昌一模）設a＞0，已知函數f（x）=e^x（ax²+x+1）．
（Ⅰ）討論f（x）的單調性；
（Ⅱ）設g（x）=x²-2bx+4．若對?x₁∈[0，1]，?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）．求實數b的取值范圍．

Answer 1

分析：（I）先求出函數f（x）的導函數f'（x），然后討論a與0的大小關系，在函數的定義域內解不等式f'（x）＞0和f'（x）＜0，即可求出函數f（x）的單調區間；
（II）將f（x₁）≥g（x₂）問題轉化為求函數的最值問題：g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1．

解答：解：（Ⅰ）∵f'（x）=e^x（ax²+x+1+2ax+1）=e^x（x+2）（ax+1）（2分）
令f'（x）＞0，得（x+2）（ax+1）＞0，
∴當a∈(0，

1

2

)時，f(x)在(-∞，-

1

a

)上遞增，在(-

1

a

，-2)上遞減，在-2，+∞上遞增；
當a=

1

2

時，f(x)在(-∞，+∞)上遞增；
當a∈(

1

2

，+∞)時，f(x)在(-∞，-2)上遞增，在(-2，-

1

a

)上遞減，在(-

1

a

，+∞)上遞增．           （6分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a＞0時，f（x）在[0，1]總是單調增加，
故f（x）在[0，1]的最小值為f（0）=1．              （8分）
由于“對?x₁∈[0，1]，?x₂∈[1，2]，使f（x₁）≥g（x₂）成立”等價于
“g（x）在[1，2]上的最小值不大于f（x）在[0，1]上的最小值1”．      （9分）
又g（x）=（x-b）²+4-b²，x∈[1，2]，所以，
①當b＜1時，因為[g（x）]_min=g（1）=5-2b≤1，此時無解；
②當b∈[1，2]時，因為[g(x)]min=4-b2≤1，解得

3

≤b≤2；
③當b∈（2，+∞）時，因為[g（x）]_min=g（2）=8-4b≤1，解得b＞2；
綜上，b的取值范圍是[

3

，+∞)．                （12分）

點評：本題主要考查了利用導數求閉區間上函數的最值，以及利用導數研究函數的單調性等基礎知識，考查綜合利用數學知識分析問題、解決問題的能力．