Question

（2011•許昌一模）選修4-5；不等式選講
（Ⅰ）解不等式：|2x-1|-|x-2|＜0；
（Ⅱ）設a＞0為常數，x，y，z∈R，x+y+z=a，x²+y²+z²=

a2

2

，求z的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）對x的取值情況分類討論，去掉絕對值符號，轉化為一次不等式解即可；
（Ⅱ）將已知條件變形，x+y=a-z，x²+y²=

a2

2

-z²，利用柯西不等式可得（x+y）²≤2（x²+y²），從而轉化為關于z的一元二次不等式3z²-2az≤0，解之即可．

解答：解：（Ⅰ）當x＜

1

2

時，原不等式化為1-2x+x-2＜0⇒-1＜x＜

1

2

；
當

1

2

≤x≤2時，原不等式化為2x-1+x-2＜0⇒

1

2

≤x＜1；
當x＞2時，原不等式化為2x-1-x+2＜0⇒x＜-1⇒x∈Φ；
綜上，原不等式的解集為{x|-1＜x＜1}．（5分）
（Ⅱ）因為x+y=a-z，x²+y²=

a2

2

-z²，
所以，由柯西不等式得（x+y）²≤2（x²+y²），即（a-z）²≤2（

a2

2

-z²），
即3z²-2az≤0，
所以z的取值范圍是z∈[0，

2a

3

]（10分）．

點評：本題考查絕對值不等式的解法，考查分類討論思想與柯西不等式的應用，考查一元二次不等式，屬于中檔題．