Question

已知函數f（x）滿足f(

1

x

)=x+2．
（Ⅰ）求f（x）的解析式及其定義域；
（Ⅱ）寫出f（x）的單調區間并證明．

Answer 1

（Ⅰ）令

1

x

=t，(t≠0)，--------（2分）
則x=

1

t

，-------（4分）
∴f(t)=

1

t

+2(t≠0)，∴f(x)=

1

x

+2(x≠0)．-----（6分）
（Ⅱ）函數f（x）在區間（-∞，0）和（0，+∞）單調遞減．-----（7分）
設x₁，x₂∈（-∞，0）∪（0，+∞），x₁＜x₂，△x=x₂-x₁＞0，-------（8分）
△y=f(x2)-f(x1)=

1

x2

+2-

1

x1

-2=

x1-x2

x1x2

=

-△x

x1x2

．--------（10分）
當x₁＜x₂＜0時，x₁x₂＞0，又△x＞0，∴△y＜0；
同理，當0＜x₁＜x₂時△y＜0，
∴函數f（x）在區間（-∞，0）和（0，+∞）單調遞減．-------（12分）