Question

14．設a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx，則（a$\sqrt{x}$+$\frac{1}{x}$）⁶展開式中的常數項為240．

Answer 1

分析 a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=$sinx{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，再利用$（2\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^{6}$的展開式中通項公式即可得出．

解答 解：a=${∫}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$cosxdx=$sinx{|}_{-\frac{π}{2}}^{\frac{π}{2}}$=2，
則$（2\sqrt{x}+\frac{1}{x}）^{6}$的展開式中通項公式：T_r+1=${∁}_{6}^{r}（2\sqrt{x}）^{6-r}（\frac{1}{x}）^{r}$=2^6-r${∁}_{6}^{r}$${x}^{3-\frac{3r}{2}}$，
令3-$\frac{3r}{2}$=0，解得r=2．
∴常數項=${2}^{4}{∁}_{6}^{2}$=240．
故答案為：240．

點評 本題考查了微積分基本定理、二項式定理的應用，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．